​积分中值定理与微积分基本定理

积分中值定理与微积分基本定理

中值定理(mean value theorem)讲的是，在一段区间上的连续（没有断点）可微（每点的变化率都存在）函数的变化率，一定可以取到其平均变化率，如图所示:

mean value theorem

连接x=a,x=b的直线的斜率即是区间[a,b]上的平均变化率，如果函数在区间[a,b]上连续且在内点都可微，则存在一个内点c，在x=c处的斜率正好等于平均变化率。

虽然这个中值定理一般不会帮助我们解决什么计算问题，却是许多重要结论证明当中需要应用的一个结论。比如积分中值定理：对于一个[a,b]上的连续函数f，定义

则F(x)是[a,b]上的连续可微函数，应用中值定理，我们可以得到，存在一点

， 使得

即

如图所示，即蓝色区域面积等于f曲线以下的面积。

积分中值定理

换句话说，在一个闭区间上的连续函数的平均值一定可以取的到。（这个貌似也比较显然，呵呵）

提到这个积分中值定理是为了证明微积分基本定理（the fundamental theorem of Calculus)。即，对于一个存在原函数F的函数f（F的导数是f）, 它在[a,b]区间上的定积分可以通过如下公式来计算：

这个定理，叫做“基本定理”，名字有点厉害了，凭什么叫基本定理呢？“基本”体现在哪里？

我们学过微积分的都知道，首先学的是微分（求导数）的各种方法，然后学基本定理，然后再学积分的各种方法。其实，最开始求导数和求积分是两个独立的领域，各自探索其计算的方法的。而微积分基本定理告诉我们，其实求定积分，无非就是把被积函数f的一个原函数找出来，或者说，只要找一个函数F，使得F的导数等于f就可以方便的计算出定积分来了。说的大一点，基本定理沟通了求微分与求积分两个本来较独立的领域的众多计算方法和技巧，真可谓是微积分学的最最基本的定理了。

下面来证明一下这个定理。其实这个定理并不难证明，也很好理解。最关键的一步，是证明上面定义的

是f的一个原函数，即F'(x)=f(x）。

证：

根据积分中值定理，我们得到，在(x,x+h)上存在一点

（因为跟h的取值有关），使得

所以F是f的一个原函数。

证毕。

而这样定义的F(x)，根据定积分的性质，易见，

那是不是就证明完了呢？其实到这一步，在计算上来说，我们啥也没干，因为我们只是证明了我们前面定义的F(x)满足这个公式，且F的导数是f。而不是证明了任意一个f的原函数都可以。而且虽说我们知道了F是f的一个原函数，但F本身并不好计算（和我们的定积分一样难以计算）。也就是说，作为F的定义形式，是无益于简化定积分的计算的。

但这里还有一个很有趣的地方，发现它就可以圆满解决这里的定积分的计算问题。我们知道，一个函数的原函数有无穷多个，它们之间仅相差一个常数，也就是说，任意一个f的原函数

，我们有

其中C是一个常数。

而注意到

所以，基本定理里的原函数F可以是任意一个f的原函数了（因为做差都相等）。这样就给我们的计算提供了很大的便利，只要能找到f的一个原函数，就可以找到定积分啦！

现在大家用这个定理来算一算我们以前可能很难计算出来的定积分吧！

例：计算

解：

.